五个小故事

奇数小镇

奇数距离

三角区域

零钱风波

等角线集

奇数小镇

奇数小镇上生活着 $n$ 个居民

1. 任何一个俱乐部只能有奇数个会员
2. 任何两个俱乐部只能有偶数个公共会员

最多可能组建多少个俱乐部呢？

$A$$A^T$$ = \begin{bmatrix} - & \mathbf{a_1} & - \\ - & \mathbf{a_2} & - \\ & \vdots & \\ - & \mathbf{a_m} & - \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} | & | & & | \\ \mathbf{a_1} & \mathbf{a_2} & \dots & \mathbf{a_m} \\ | & | & & | \end{bmatrix}$

$$= \begin{bmatrix}|C_1| & |C_1 \cap C_2| & \dots & |C_1 \cap C_m| \\ |C_2 \cap C_1| & |C_2| & \dots & |C_2 \cap C_m| \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ |C_m \cap C_1| & |C_m \cap C_2| & \dots & |C_m| \end{bmatrix}$$

$$M := AA^T \equiv \begin{bmatrix}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1\end{bmatrix}$$

$\det(M) \equiv 1$

$m =$ $\mathrm{rank}(M)$ $\le$ $\mathrm{rank}(A)$ $ \le n$

偶数小镇上生活着 $n$ 个居民

1. 任何一个俱乐部只能有偶数个会员
2. 任何两个俱乐部只能有偶数个公共会员

最多可能组建多少个不同的俱乐部呢？

五个小故事

奇数小镇

奇数距离

三角区域

零钱风波

等角线集

奇数距离

平面上存在两两之间距离为奇数的三个点吗？

平面上存在两两之间距离为奇数的四个点吗？

假设存在这样的四个点 $(0,0) = $ $\mathbf{p_0}, \mathbf{p_1}, \mathbf{p_2}, \mathbf{p_3} \in \mathbb{R}^2$

$A$$A^T$$ = \begin{bmatrix} - & \mathbf{p_1} & - \\ - & \mathbf{p_2} & - \\ - & \mathbf{p_3} & - \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} | & | & | \\ \mathbf{p_1} & \mathbf{p_2} & \dots & \mathbf{p_3} \\ | & | & & | \end{bmatrix}$

$$= \begin{bmatrix}\mathbf{p_1} \cdot \mathbf{p_1} & \mathbf{p_1}\cdot\mathbf{p_2} & \mathbf{p_1}\cdot\mathbf{p_3} \\ \mathbf{p_2}\cdot\mathbf{p_1} & \mathbf{p_2}\cdot\mathbf{p_2} & \mathbf{p_2}\cdot\mathbf{p_3} \\ \mathbf{p_3}\cdot\mathbf{p_1} & \mathbf{p_3}\cdot\mathbf{p_2} & \mathbf{p_3}\cdot\mathbf{p_3} \end{bmatrix}$$

$$|\mathbf{p_1} - \mathbf{p_2}|^2 = |\mathbf{p_1}|^2 + |\mathbf{p_2}|^2 - 2\mathbf{p_1}\cdot\mathbf{p_2}$$

$$2\mathbf{p_1}\cdot\mathbf{p_2} \equiv 1$$

$M := 2AA^T \equiv \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$\implies \det(M) \equiv 0$

怎么办？

$$2AA^T = \begin{bmatrix}2\mathbf{p_1} \cdot \mathbf{p_1} & 2\mathbf{p_1}\cdot\mathbf{p_2} & 2\mathbf{p_1}\cdot\mathbf{p_3} \\ 2\mathbf{p_2}\cdot\mathbf{p_1} & 2\mathbf{p_2}\cdot\mathbf{p_2} & 2\mathbf{p_2}\cdot\mathbf{p_3} \\ 2\mathbf{p_3}\cdot\mathbf{p_1} & 2\mathbf{p_3}\cdot\mathbf{p_2} & 2\mathbf{p_3}\cdot\mathbf{p_3} \end{bmatrix}$$

$\mathbf{p_1} \cdot \mathbf{p_1} =$ 奇数的平方 $\equiv 1 \pmod{8}$

$2\mathbf{p_1} \cdot \mathbf{p_2} = |\mathbf{p_1}|^2 + |\mathbf{p_2}|^2 - |\mathbf{p_1} - \mathbf{p_2}|^2$ $\equiv 1 \pmod{8}$

$$2AA^T \equiv \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

$$\implies \det(2AA^T) \equiv 4 \pmod{8}$$

$3 =$ $\mathrm{rank}(M)$ $\le$ $\mathrm{rank}(A)$ $ \le 2$

思考题

空间中至多有几个点，两两之间距离为奇数？

五个小故事

奇数小镇

奇数距离

三角区域

零钱风波

等角线集

三角区域

平面上 $n$ 条直线（无三线共点，无两线平行）

至少有多少个三角区域？至少 $n-2$ 个？

观察：稍微移动直线，区域形状基本不变

固定某两条直线，能否平移其余 $n-2$ 条直线，
且保持三角区域不变？

保持三角区域 $\Leftrightarrow$ 直线速率满足线性约束方程

反证法，假设三角区域 $< n-2$ 个

约束方程个数 $<$ 未知数（速率）个数

$\implies$ 存在非零解，即直线可以匀速运动起来！

某三条直线第一次共点？

在第一次三线共点之前，每个区域形状基本不变

但在这之前一点点……

五个小故事

奇数小镇

奇数距离

三角区域

零钱风波

等角线集

零钱风波

某网店正在处理订单，

突然所有小于 1 元的硬币都被作废了！

网店该如何取整每个商品价格，

使得每个订单的总价变化不大？

假设商品编号 $1, 2, \dots, n$，价格小数部分为 $c_i$

订单 $S_1, \dots, S_m \subset \{1, 2, \dots, n\}$

Beck–Fiala 定理

如果每个 $i$ 出现在至多 $d$ 个 $S_k$ 中，

则存在 $z_1, \dots, z_n \in \{0,1\}$

使得 $\left|\sum_{i \in S_k} z_i - \sum_{i \in S_k}c_i\right| < d$ 对每个 $S_k$ 成立。

让价格运动起来？

$c_i \in (0,1) \to x_i \in [0,1] \to z_i \in \{0,1\}$

约定：如果 $x_i$ 变为 0 或 1 后，其值就固定不动了

固定前称 $x_i$ 在浮动

价格浮动的时候，哪些 $S_k$ 令人担心？

称含有超过 $d$ 个浮动商品的订单为危险的

浮动商品越来越少，危险订单越来越少

如何让价格运动起来，且保持危险订单总价不变？

危险订单 $\Leftrightarrow$ 浮动价格 $x_i$ 的线性约束条件

约束条件的个数 $<$ 浮动价格的个数？

存在非零解 $\implies$ 可以让浮动价格匀速运动起来

直到某个浮动价格第一次到达 0 或 1

在订单脱离危险之后，
其 $d$ 个浮动商品最多带来总价变化 $< d$。

差异理论 Discrepancy Theory

$S_1, \dots, S_m \subset \{1,2,\dots, n\}$

给定赋值 $f\colon \{1,2,\dots, n\} \to \{-1, 1\}$

给 $f$ 打分为 $\chi(f) = \max_k |\sum_{i\in S_k}f(i)|$

如果每个 $i$ 出现在出现在至多 $d$ 个 $S_k$ 中，

则 $\min_f\chi(f)$ 至多是？

五个小故事

奇数小镇

奇数距离

三角区域

零钱风波

等角线集

等角线集

平面上至多能放置多少条直线使得两两夹角相等？

空间中至多能放置多少条等角线？

3 条？4 条？6 条？

等角线上取单位列向量 $v_1, \dots, v_n \in \mathbb{R}^3$

$v_iv_i^T$是 3 x 3 对称矩阵

3 x 3 对称矩阵构成几维线性空间？6 维！

对称矩阵 $v_1v_1^T, \dots, v_nv_n^T$ 线性无关吗？

假设 $a_1v_1v_1^T + \dots + a_nv_nv_n^T = 0$

$\implies v_1^T(a_1v_1v_1^T + \dots + a_nv_nv_n^T)v_1 = 0$

$\implies a_1 + a_2 \alpha^2 + \dots + a_n \alpha^2 = 0$

$\implies (1-\alpha^2)a_1 + \alpha^2(a_1 + \dots + a_n) = 0$

$\implies \dots \implies a_1 = \dots = a_n = 0$

等角线问题

$n$ 维空间中夹角为 $\arccos\alpha$ 的等角线最多 $N_\alpha(n)$ 个